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- 반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면
- l = rθ
- S = r2θ = rl.
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부채꼴의 면적,중심각 구하기 – Daum 블로그
부채꼴의 면적 구하기 부채꼴은 원의 일부분을 쪼개 놓은것으로 생각하시면 됩니다. 가장 쉽게 생각하시려면 피자를 생각하시면 됩니다.
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부채꼴 넓이 공식 – 바로 보고 바로 이해하기 – 네이버 블로그
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원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각 – 수학방
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중 1 수학: 부채꼴의 넓이 공식. 호의 길이 구하는 공식
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[수학 계산기] 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식 (계산기)
부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 구하는 2가지 공식을 알아보도록 하겠습니다. 아래 각 계산기에 반지름과 중심각(호)을 입력하면 계산된 값이 …
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중심각과 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현의 길이 사이의 관계
두 부채꼴의 중심각의 크기가 같을 때, 한쪽의 부채꼴을 회전시키면 서로 … 성질을 적용해 식을 세워 40x=400 , x=10이라고 구할 수도 있어요.
Source: susuni11.tistory.com
Date Published: 10/17/2021
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[5분 고등수학] 부채꼴 호의 길이와 넓이 (호도법 이용)
부채골의 둘레 길이를 반지름과 중심각으로 구할 수 있게 된 것입니다. 이때 중심각은 라디안각입니다. 비례식에서 단위가 삭제되었기 때문에 크기만 남은 …
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주제에 대한 기사 평가 부채꼴 중심각 구하기
- Author: 최강수학 최명관
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- Date Published: 2020. 7. 3.
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부채꼴 호의 길이와 넓이, 호도법이용
부채꼴 호의 길이와 넓이를 중학교 1학년 때 구해봤어요. (부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이) 이때는 각이 육십분법으로 표시되어 있었죠. 이제는 육십분법이 아니라 호도법으로 표시된 각을 이용해서 부채꼴 호의 길이와 넓이를 구해봐요.
공식을 유도하는 과정은 육십분법에서 했던 과정과 똑같아요. 각을 표시하는 방법만 달라지는 거니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 앞으로는 육십분법이 아니라 호도법으로 각을 나타낼 거니까 여기에 나오는 공식을 외워두세요.
부채꼴 호의 길이와 넓이
반지름의 길이가 r인 원에서 중심각의 크기가 θ라디안인 부채꼴 호의 길이를 l이라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.
부채꼴 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 원의 둘레와 비례식을 세워보죠.
2π : 2πr = θ : l
l = rθ
원의 넓이와 부채꼴의 넓이도 비례식을 세워볼까요?
2π : πr2 = θ : S
위의 부채꼴 호의 길이에서 l = rθ이므로 이걸 넓이 공식에 대입해보면 이 돼요. rl이라는 공식은 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이 공식도 나왔던 공식이에요.
반지름이 r이고 중심각의 크기가 x°인 부채꼴 호의 길이와 넓이는 다음과 같아요.
이글에서는 육십분법을 호도법으로 바꾼 거니까 다른 건 그냥 다 두고 각도를 나타내는 부분만 바꿔보죠. 360°는 2π(라디안), 중심각 x°는 θ(라디안)로 바꿔봐요.
공식을 유도할 수 있겠죠?
부채꼴 호의 길이
반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면
l = rθ
S = r2θ = rl
반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 π인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.
반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 &pi니까 둘레 l = rθ = 4 × π = 4π(cm)
S = r2θ = × 42 × π = 8π(cm2)
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인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면 l = r θ
S = r2 θ = rl
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부채꼴의 면적 구하기
부채꼴은 원의 일부분을 쪼개 놓은것으로 생각하시면 됩니다.
가장 쉽게 생각하시려면 피자를 생각하시면 됩니다.
피자를 안 먹어본 사람은 이해가 좀 힘들겠지만..
전 23살때까지 피자를 먹어 본적이 없습니다.(대충 나이를 짐작하시겠지요)
피자 조각이 부채꼴이므로 아주 쉽습니다.
원의 넓이를 계산 한뒤에 부채꼴이 그 원의 몇조각으로 이루어 졌는가를 계산하면 됩니다.
다르게 표현하면
부채꼴 조각이 몇개가 모여야 하나의 원이 되느냐 입니다.
부채꼴을 이루는 요소는
부채꼴의 반지름 r
부채꼴의 중심각 q
호의 길이 A ( 호의 길이는 때때로 부채꼴에 내접하는 원으로도 표현이 됩니다. 예를 들어 전개도)
예제))
부채꼴의 반지름이 10 이고 호의 길이가 5 인
부채꼴의 중심각과 면적을 구하라
부채꼴의 반지름으로 전체 원의 원주를 계산합니다.
원의 원주는 2*파이* 반지름 이므로
2 * 파이 * 10 이 되겠죠~
원의 원주는 20 파이가 됩니다.
예제에서 호의 길이가 5 이라고 했으니
원의 원주의 4분의 1 이 되겠군요~
원의 면적은
파이 * 반지름의 제곱 이므로
100 파이가 되겠네요
그럼 인제 문제를 다 풀었네요~
부채꼴의 중심각은 원의 각 360도에서 4분의 1을 곱한값 90도가 되겠고
부채꼴의 면적은 원의 면적의 4분의1이 되므로
100파이의 4분의 1인 25 파이가 되겠네요
중심각 = 90 도
부채꼴의 면적 = 25파이
부채꼴 넓이 공식 – 바로 보고 바로 이해하기
부채꼴 넓이 공식 – 바로 보고 바로 이해하기
부채꼴 넓이 공식
부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 비례하므로
360˚에 대한 중심각의 비율만큼 원의 넓이에 대한 비율로 구할 수 있습니다.
이 방법이 부채꼴의 넓이를 구하는 가장 기본이 되는 방법입니다.
이번 포스트에서 다룰 내용은 위의 기본 방법 말고,
부채꼴의 중심각이 주어지지 않고 반지름과 호의 길이만 주어졌을 때,
넓이를 구하는 공식을 알아보려고 합니다.
수식을 통해 유도하는 방법은 뒷부분에서 설명하기로 하고
우선 직관적으로 알아낼 수 있는 방법을 설명하고자 합니다.
혹시, 이 공식을 보고 삼각형의 넓이를 떠올리지는 않았나요?
부채꼴의 넓이 공식이 어떻게 삼각형의 넓이 공식과 같게 되는지 보여드리겠습니다.
알아보기 쉽게 중심각이 90˚인 부채꼴로 설명을 하겠습니다.
위의 그림과 같이 부채꼴의 호의 모양대로 부채꼴을 얇게 잘라낸다고 합시다.
종이처럼 얇게 무한히 잘라냅니다.
그림에서는 알아보기 쉽게 두꺼운 선으로 표현했습니다.
그리고, 얇게 잘라낸 선 하나하나를 수평으로 펴줍니다. 아래 그림과 같이…
모든 선들을 위와 같이 수평으로 펼쳐줍니다.
선들이 무한히 얇게 잘라졌다면 더 촘촘한 모양이 되었겠죠?
이래서 부채꼴의 넓이 공식은 삼각형의 넓이 공식과 같은 모양인(?)
이런 식이 됩니다.
좀 더 쉽게 이해 할 수 있는 사진을 보여드리겠습니다.
앞에서 종이처럼 얇게 자른다고 했죠?^^
동영상으로 보면 바로 보실 수 있습니다.
[수식을 이용한 공식 유도 방법]부채꼴의 호의 길이는
입니다.
중심각의 크기를 이용한 부채꼴의 넓이를 구하는 공식으로부터 유도하는 과정입니다.
또는, 부채꼴의 넓이와 호의 길이는 중심각의 크기와 비례하므로
에서
이렇게 유도할 수 있습니다.
식을 통해 공식을 유도하는 방법도 꼭 연습해보세요.^^
원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각
다각형에 이어 이번에는 원이에요.
다각형은 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면도형이었어요.
이번에는 선분이 아닌 것들로 둘러싸인 도형을 공부할 거예요. 바로 원과 그 친구들이죠.
원은 초등학교 때 지름, 반지름, 넓이 구하는 걸 하면서 공부했어요. 그때의 내용이 또 나와요. 하지만 고맙게도 계산은 훨씬 쉬워졌어요. 기대하세요.
원, 호, 현, 활꼴, 부채꼴
원은 한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 도형이에요. 그리고 그 한 점을 원의 중심이라고 하고, 일정한 거리를 우리는 반지름이라고 하지요.
호는 원의 일부분인데, 원 위의 두 점을 양 끝으로 하는 원의 일부를 말해요. 이때 양 끝점이 A, B이면 호 AB라고 부르고 기호로 로 나타내요. 선분 AB는 AB 위에 반듯한 선을 그어서 로 표시했는데, 호는 AB 위에 곡선을 그어서 표시해요.
A와 B를 양 끝점으로 하고, 중간에 점 C를 지나는 호는 정확한 경로를 알 수 있게 호 ACB라고 불러요.
현은 원 위의 두 점을 이은 선분을 말해요. 현이 지나는 두 점이 AB이면 현 AB라고 부르고 기호로 로 표시해요. 현은 반듯한 선분이라서 기호도 그냥 선분 기호를 사용해요.
현 중에서 원의 중심을 지나는 현을 지름이라고 하고, 지름은 현 중에서 길이가 가장 길어요.
활꼴은 이름 그대로 활처럼 생겼어요. 호와 현으로 이루어진 도형을 말해요.
부채꼴은 부채모양처럼 생겼고요. 호와 원의 반지름 두 개로 이루어진 도형이에요. 부채꼴에는 두 반지름이 원의 중심에서 만나서 생기는 각이 있지요? 이 각을 부채꼴의 중심각이라고 불러요.
부채꼴과 중심각
부채꼴의 중심각은 중요한 의미가 있어요. 바로 중심각에 따라 부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이가 달라지기 때문이죠.
하나의 원이나 합동인 두 원에서
부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이가 같다
부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 부채꼴의 넓이도 같다.
부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 현의 길이도 같다.
부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴 호의 길이
부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴의 넓이
부채꼴의 중심각과 현의 길이는 정비례하지 않는다.
위에서 ∝ 표시는 정비례 표시에요. 중심각이 2배, 3배로 커지면 그에 따라 부채꼴 호의 길이도 2배, 3배로 길어진다는 뜻이에요. 부채꼴의 넓이도 마찬가지고요. 단, 현의 길이는 정비례하지 않아요.
아래 그림을 보고 x의 길이를 구하시오.
위 그림에서 x는 부채꼴 호의 길이에요. 한 원에서 부채꼴의 중심각과 부채꼴 호의 길이는 정비례한다고 했어요.
위에 있는 부채꼴의 중심각은 40°이고, 호의 길이는 xcm예요. 아래에 있는 부채꼴의 중심각은 120°이고 호의 길이는 9cm고요. 정비례하니까 비례식으로 풀어보죠.
40° : xcm = 120° : 9cm
120° × xcm = 40° × 9cm
x = 40 × 9 ÷ 120
x = 3
x는 3cm네요.
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[중등수학/중3 수학] – 원뿔의 높이와 부피, 원뿔의 부피 공식정리해볼까요 원과 호, 현, 활꼴, 부채꼴 원: 평면 위의 한 점으로부터 거리가 일정한 점들로 이루어진 도형
호: 원 위의 두 점을 양 끝으로 하는 원의 일부분
현: 원 위의 두 점을 이은 선분. 현 중에 제일 긴 현은 지름
활꼴: 현과 호로 이루어진 도형
부채꼴: 호와 반지름 두 개로 이루어진 도형. 부채꼴의 중심각 부채꼴의 중심각 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이가 같다
부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 부채꼴의 넓이도 같다.
부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 현의 길이도 같다. 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴 호의 길이
부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴의 넓이
부채꼴의 중심각과 현의 길이는 정비례하지 않는다.
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중 1 수학: 부채꼴의 넓이 공식. 호의 길이 구하는 공식
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우리는 이미 원에 대해 배웠으며, 원의 넓이를 구하는 방법과 원둘레의 길이를 구하는 방법도 알고 있습니다.
중 1 수학에서는 부채꼴에 대해 배우는데요, 부채꼴은 원의 연장선에 있는 개념입니다.
그래서 부채꼴의 넓이와 호 길이를 구하는 방법을 배우기 앞서, 원의 넓이 공식과 원의 둘레 공식을 한 번 더 짚고 넘어가겠습니다.
원의 넓이(S) = 반지름(r) x 반지름(r) x π
원의 넓이 공식
원의 둘레(l) = 2 x 반지름(r) x π
원의 둘레 공식
원의 넓이를 S로 표기하는 이유는 넓이를 의미하는 square에서 차용했기 때문이며,
반지름 r은 반지름을 뜻한는 radius에서 둘레(l) 은 length에서 각각 따 왔습니다.
영어 뜻이 중요한 것은 아니지만, 수학 문제에서는 모두 알파벳을 사용하여 표기하므로, 알파벳 표기에 익숙해지는 것이 좋겠습니다.
◈ 부채꼴 이란
부채꼴은 원을 피자 조각 자르듯이 원의 중심을 지나도록 자른 원의 일부분 입니다. 생긴 모양이 부채처럼 생겨서 부채꼴이라는 이름이 붙었습니다. 부채꼴의 호는 원을 잘랐을 때 남은 원주의 곡선 부분 을 의미합니다.
부채꼴의 중심각은 원의 중심을 꼭지점으로 하는 부채꼴의 각 입니다.
부채꼴이 원의 중심을 지나도록 잘랐기 때문에 우리는 부채꼴을 원의 일부로 간주하여 넓이와 호의 길이를 구할 수 있습니다.
◈ 부채꼴의 넓이
피자를 한 판 주문해서 4명이 똑같은 크기로 잘라 나눠 먹는다고 합시다.
만약 피자 한 판의 넓이가 1이라면, 한 사람마다 먹은 피자 조각의 넓이는 1/4가 될 것입니다.
만약 8명이 위의 피자를 똑같이 나눠 먹었다면, 한 사람 당 먹은 피자 조각의 넓이는 1/8이 될 것입니다.
부채꼴의 넓이 공식. 호의 길이 구하는 공식
그렇다면 1/4 조각 피자의 중심각은 얼마일까요? 직각이겠지요. 90˚는 완전한 원일 때 중심각인 360˚의 1/4입니다.
1/8 조각 피자의 중심각은 그럼 얼마일까요? 360˚의 1/8인 45˚입니다.
어떤가요? 감이 좀 오는 것 같나요?
부채꼴의 넓이를 구한다는 것은 다른 의미로 그 부채꼴이 완전한 원이었을 때 대비 얼마 비율의 넓이인가를 찾는 문제 입니다.
그리고 그 비율을 알기 위해서는 중심각을 꼭 알아야 하는 것이죠.
좀 더 이해를 돕기 위해 아래 그림을 참고해 주세요.
부채꼴의 넓이 공식. 호의 길이 구하는 공식
부채꼴의 넓이 구하는 법을 공식화해서 표현하면 다음과 같습니다. x는 중심각을 의미합니다.
부채꼴 넓이 공식
◈ 부채꼴 호의 길이
부채꼴 호의 길이를 구하는 문제 역시 부채꼴을 원의 일부라고 간주 하고 풀어나가면 됩니다.
피자 한 판의 원주를 구할 수 있다면,
1/4조각 피자의 호 길이는 ‘피자 한 판의 원주 x 1/4’이 될 것입니다.
1/8조각 피자의 호 길이는 ‘피자 한 판의 원주 x 1/8’이 되는 것이고요.
부채꼴 호의 길이를 묻는 역시 중심각을 알아야 풀 수 있습니다.
부채꼴 호의 길이를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
부채꼴 호의 길이 공식
◈ 또 다른 부채꼴 넓이 공식
앞서 부채꼴 넓이를 구하는 공식을 알려드렸습니다만,
다음과 같이 또 다른 형태의 부채꼴 넓이 공식도 유도할 수 있습니다.
부채꼴의 넓이 공식
첫 번째 부채꼴 넓이 공식만 알고 있어도 문제 푸는 데 지장은 없습니다
하지만 부채꼴의 반지름과 호 길이를 알려주고 부채꼴의 넓이를 구하는 문제 는 위 공식을 사용하면 금방 풀 수가 있습니다. 문제에 따라 매우 유용하게 사용할 수 있겠습니다.
지금까지 중 1 수학 부채꼴의 넓이 구하는 공식과 호의 길이 구하는 공식 을 알아보았습니다. 공식을 외우고 있으면 대입해서 풀기 수월하지만, 공식이 나오게 된 원리를 이해하는 것도 응용문제를 만났을 때 도움이 됩니다. 또한 문제를 많이 풀어보고 유형에 익숙해지는 동시에 속도감 있게 문제를 푸는 것도 중요 하겠습니다.
[수학 계산기] 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식 (계산기)
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부채꼴 호 넓이 계산기
부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 구하는 2가지 공식을 알아보도록 하겠습니다.
아래 각 계산기에 반지름과 중심각(호)을 입력하면 계산된 값이 나옵니다.
부채꼴
부채꼴 호의 길이 공식과 계산기
호의 길이 = 2πr * x/360
[부채꼴 호의 길이 계산기]부채꼴의 반지름과 중심각을 입력해서 호의 길이를 구해보세요.
반지름(r) cm 중심각(x) ℃
부채꼴의 넓이 공식과 계산기(중심각을 알때) 넓이 = πr² * x/360 [부채꼴 넓이 계산기]
부채꼴의 반지름과 중심각을 입력해서 부채꼴의 넓이를 구해보세요.
반지름(r) cm 중심각(x) ℃
부채꼴의 넓이 공식과 계산기(호의 길이를 알때) 넓이 = 1/2 * rℓ [부채꼴 넓이 계산기]
부채꼴의 반지름과 호의 길이를 입력해서 부채꼴의 넓이를 구해보세요.
반지름(r) cm 호의 길이(ℓ) cm
계산기는 검산용으로 사용하시고 직접 풀어보세요.
그리드형
중심각과 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현의 길이 사이의 관계
반응형
한 원 또는 반지름이 같은 원(합동인 원)에서 중심각의 크기가 같은 경우와 중심각의 크기가 2배, 3배, ··· 변할 때,
중심각과 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현의 길이 사이의 관계에 대해 정리해 보도록 해요.
중심각의 크기가 같은 경우
두 부채꼴의 중심각의 크기가 같을 때, 한쪽의 부채꼴을 회전시키면 서로 포개어질 수밖에 없어요.
따라서 두 부채꼴은 합동이 되며, 합동인 두 도형은 길이와 넓이가 같기 때문에 두 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 같습니다.
현의 길이에 대해 생각해보면
두 반지름과 현으로 둘러싸인 삼각형 OAB와 삼각형 OCD에 대해
$\overline{OA}=\overline{OC}$ (반지름)
$\overline{OB}=\overline{OD}$ (반지름)
$\angle AOB=\angle COD$ (중심각)
이므로 두 대응변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같기때문에 두 삼각형은 SAS합동이 됩니다.
따라서 현의 길이는 같습니다.
정리하면,
① 중심각의 크기가 같으면 → 호의 길이는 같다.
② 중심각의 크기가 같으면 → 부채꼴의 넓이는 같다.
③ 중심각의 크기가 같으면 → 현의 길이는 같다. (SAS합동)
<참고>
거꾸로 생각해보면,
즉 호의 길이가 같거나 또는 부채꼴의 넓이가 같을 때, 한쪽의 부채꼴을 회전시키면 두 부채꼴이 포개어질 수밖에 없으므로 중심각의 크기는 같습니다.
마찬가지로 현의 길이가 같을 때, 중심각의 크기에 대해 생각해보면
삼각형 OAB와 삼각형 OCD에 대해
$\overline{OA}=\overline{OC}$ (반지름)
$\overline{OB}=\overline{OD}$ (반지름)
$\overline{AB}=\overline{CD}$ (현)
이므로 세 대응변의 길이가 각각 같기 때문에 두 삼각형은 SSS합동이 됩니다.
따라서 중심각의 크기는 같습니다.
정리하면,
① 호의 길이가 같으면 → 중심각의 크기는 같다.
② 부채꼴의 넓이가 같으면 → 중심각의 크기는 같다
③ 현의 길이가 같으면 → 중심각의 크기는 같다. (SSS합동)
중심각의 크기가 2배, 3배, ··· 인 경우
위의 그림에서처럼 중심각의 크기가 같은 부채꼴을 2개, 3개, ··· 이어 붙였을 때, 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 2배, 3배, ··· 변한다는 것을 알 수 있어요.
함수 단원에서 x의 값이 2배, 3배, ··· 변할 때 y의 값이 2배, 3배, ··· 변하는 경우에 y는 x에 정비례(또는 x와 y는 정비례)한다고 했어요.
[이전 글 보기] – 정비례 ( 뜻, 식, 그래프 )그렇다면 중심각의 크기를 x, 호의 길이를 y라고 한다면,
x인 중심각의 크기가 2배, 3배, ···변할 때 y인 호의 길이가 2배, 3배, ··· 변하므로 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다고 할 수 있겠죠?
마찬가지로 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례한다고 할 수 있습니다.
예 ) 호 AB의 길이가 5cm일 때, 호 CD의 길이는?
우선 구하려는 호 CD의 길이를 xcm라고 놓고, 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 비례식을 세우면 됩니다.
부채꼴 AOB의 중심각의 크기는 40˚, 호의 길이는 5cm
부채꼴 COD의 중심각의 크기는 80˚, 호의 길이는 xcm
40˚ : 80˚ = 5cm : xcm
중심각의 크기의 비가 1 : 2 이므로 호 CD의 길이는 10cm임을 바로 판단할 수도 있고,
외항의 곱과 내항의 곱이 같다는 성질을 적용해 식을 세워 40x=400 , x=10이라고 구할 수도 있어요.
이제 현의 길이가 중심각의 크기에 정비례하는지 알아보도록 해요.
현의 길이가 중심각의 크기에 정비례한다면, 중심각의 크기가 2배일 때 현의 길이도 2배가 되어야겠죠?
즉 ∠AOC가∠AOB의 2배 일 때, 현 AC의 길이가 현 AB의 길이에 2배가 되는지 알아보도록 해요.
ⓐ ∠AOC가 ∠AOB의 2배이므로 ∠AOB=∠BOC 이에요.
중심각의 크기가 같을 때 두 현의 길이는 같기 때문에 현 AB와 현 BC는 같아요.
즉 $\overline{AB}=\overline{BC}$ 입니다.
ⓑ 현 AC와 현 AB는 삼각형 ABC의 변이예요.
삼각형에서 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이를 더한 것보다 작다는 성질을 적용한다면,
$\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC}$ 입니다. ⓐ, ⓑ에 의하여 $\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC}$ $=\overline{AB}+\overline{AB}$ $=2×\overline{AB}$ 이므로 현 AC의 길이는 현 AB의 길이에 2배가 되지 않습니다. 정리하면, ① 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다. ② 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례한다. ③ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다. 반응형
[5분 고등수학] 부채꼴 호의 길이와 넓이 (호도법 이용)
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지난 시간에 배운 호도법을 이용하면 부채꼴 호의 길이와 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다. 60분법을 이용할 때와 비교해서 쉽다는 말입니다.
1) 부채꼴의 호의 길이
중심각이 $\theta$, 반지름이 $r$, 호의 길이가 $l$, 넓이가 $S$인 부채꼴을 그렸습니다.
원의 둘레 길이는 $2 \pi$ 입니다. 아래와 같은 비례식을 세울 수 있습니다.
$2 \pi r : l=2 \pi : \theta $
비례식을 계산합니다.
$2 \pi l =2 \pi r \theta$
아래와 같이 약분해줍니다.
$l = r \theta $
부채골의 둘레 길이를 반지름과 중심각으로 구할 수 있게 된 것입니다. 이때 중심각은 라디안각입니다. 비례식에서 단위가 삭제되었기 때문에 크기만 남은 라디안각입니다. 예를들어 반지름이 3이고, 중심각이 90도인 부채꼴의 둘레 길이는, 3과 $\frac{\pi}{2}$를 곱한 값입니다.
2) 부채꼴의 넓이
중심각이 $\theta$, 반지름이 $r$, 호의 길이가 $l$, 넓이가 $S$인 부채꼴을 그렸습니다.
원의 넓이는 $\pi r^{2}$ 입니다. 아래와 같은 비례식을 세울 수 있습니다.
$\pi r^{2} : S = 2\pi : \theta$
비례식을 계산해줍니다.
$2\pi S=\theta \pi r^{2}$
아래와 같이 약분해줍시다.
$S=\frac{1}{2} \theta r^{2}$
반지름과 중심각을 알면 넓이를 구할 수 있게 되었습니다. 이때 $\theta$도 라디안 각이며, 단위는 없습니다.
1번에서 유도한 식을 대입하면 아래와 같이 변형할 수도 있습니다.
$S=\frac{1}{2}rl$
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